Икс во 2 степени: 1)  Решить уравнения: х(во 2 степени) =64 х(во 2 степени)-144=0 х(во второй

x¹y¹  — сумма показателей равна  1 + 1 = 2.

Сумма показателей у первого члена уравнения больше, чем у второго, значит, при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит, что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

Примеры:

2xy — x = 25  — уравнение второй степени с двумя неизвестным,

xy² — 2xy + 8y = 0  — уравнение третьей степени с двумя неизвестными.

Функция СТЕПЕНЬ — Служба поддержки Office

Предположим, что вам нужно вычислить очень маленький допуск для детали механизма или огромное расстояние между двумя галактиками. Для возведения числа в степень используйте функцию

Описание

Возвращает результат возведения числа в степень.

Синтаксис

СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргументы функции СТЕПЕНЬ описаны ниже.

• Число    — обязательный аргумент. Базовое число. Это может быть любое настоящее число.

• Степень    Обязательный.2.

  Пример

  Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

  Формула	Описание	Результат
  =СТЕПЕНЬ(5;2)	Число 5 в квадрате.	25
  =СТЕПЕНЬ(98,6;3,2)	Число 98,6, возведенное в степень 3,2.{2}}-17t+6=0\) имеет три корня: \( {{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\). Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\). Ответ: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\). Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя! Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков. Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной. Урок 12. решение алгебраических уравнений разложением на множители — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс Алгебра и начала математического анализа, 10 класс Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители. Перечень вопросов, рассматриваемых в теме 1) типы алгебраических уравнений; 2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители; 3) методы решения алгебраических уравнений. Глоссарий по теме Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными. Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F. Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P. Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения. Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0. Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа. Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n. Основная литература: Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014. Дополнительная литература: Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017. Теоретический материал для самостоятельного изучения Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение? Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными. Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F. Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P. Например, уравнение является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел. Связанные определения. Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются  корнями этого алгебраического уравнения. Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители: Пример 1. x3 – 3x – 2 = 0. Решение: I способ D(–2) : , Можно догадаться, что число х1 = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0. (х + 1)( х2 –х–2) = 0; х + 1 = 0 или х2 –х–2 = 0; х1 = –1 х2,3 = ; х2,3 = ; х2 = –1, х3 = 2 Ответ: –1; 2. II способ x3 + х2 – х2 – х – 2x – 2 = 0; (x3 + х2) – (х 2 + х) – 2(x + 1) = 0; х2(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0; (х + 1) (х2 –х–2) = 0; (х + 1) (х + 1) (х –2) = 0; (х –2) = 0; х1 = –1, х2 = 2 Ответ: –1; 2. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим Биквадратные уравнения На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0. Метод решения Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х2. Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay2+by+c=0. Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения y1 и y2. Решая эти два уравнения (y1=x12 и y2=x1 2) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения. Порядок действий при решении биквадратных уравнений Ввести новую переменную у=х2 Подставить данную переменную в исходное уравнение Решить квадратное уравнение относительно новой переменной После нахождения корней (y1; y2) подставить их в нашу переменную у=х2 и найти исходные корни биквадратного уравнения Пример 2. х4 – 8х2 – 9 = 0. Решение: Пусть у = х2, где у 0; у2 – 8у – 9 = 0; По формулам Виета: у1 = –1; у2 = 9; Первое решение отбрасываем ( у 0), а из второго находим х1 = –3; х2 = 3. Ответ: х1 = –3; х2 = 3. 2 Симметрические уравнения Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени. Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа. Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений: 10.  У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1. Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е. (х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,  х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0, первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение. 20.  У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет. 30. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом. Пример 3. х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0. Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1. Разлагая далее левую часть на множители, получим (х + 1)(x2 + х + 1) = 0. Квадратное уравнение x2 + х + 1 = 0 не имеет корней. Ответ: –1. 2 Возвратные уравнения Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n. Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1. Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0: разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения; группировкой привести полученное уравнение к виду  ввести новую переменную , тогда выполнено , то есть ;  в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at2 +bt+c–2a=0; решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной. Пример 4 2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0. Решение: Разделим на x2, получим: Введем замену: Пусть тогда 2t2 – 3t – 27 = 0 t=-3 x2+3x+5=0 D<0 2×2-9x+10=0 x=2; x=2,5 Ответ: . Степень с натуральным показателем Предварительные навыки Что такое степень? Степенью называют произведение из нескольких одинаковых множителей. Например: 2 × 2 × 2 Значение данного выражения равно 8 2 × 2 × 2 = 8 Левую часть этого равенства можно сделать короче – сначала записать повторяющийся множитель и указать над ним сколько раз он повторяется. Повторяющийся множитель в данном случае это 2. Повторяется он три раза. Поэтому над двойкой записываем тройку: 23 = 8 Это выражение читается так: «два в третьей степени равно восемь» или «третья степень числа 2 равна 8». Короткую форму записи перемножения одинаковых множителей используют чаще. Поэтому надо помнить, что если над каким-то числом надписано другое число, то это есть перемножение нескольких одинаковых множителей. Например, если дано выражение 53, то следует иметь ввиду, что это выражение равносильно записи 5 × 5 × 5. Число, которое повторяется называют основанием степени. В выражении 53 основанием степени является число 5. А число, которое надписано над числом 5 называют показателем степени. В выражении 53 показателем степени является число 3. Показатель степени показывает сколько раз повторяется основание степени. В нашем случае основание 5 повторяется три раза Саму операцию перемножения одинаковых множителей называют возведением в степень. Например, если нужно найти произведение из четырёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2, то говорят, что число 2 возводится в четвёртую степень: Видим, что число 2 в четвёртой степени есть число 16. Отметим, что в данном уроке мы рассматриваем степени с натуральным показателем. Это вид степени, показателем которой является натуральное число. Напомним, что натуральными называют целые числа, которые больше нуля. Например, 1, 2, 3 и так далее. Вообще, определение степени с натуральным показателем выглядит следующим образом: Степень числа a с натуральным показателем n — это выражение вида an, которое равно произведению n множителей, каждый из которых равен a Примеры: Следует быть внимательным при возведении числа в степень. Часто по невнимательности человек умножает основание степени на показатель. Например, число 5 во второй степени есть произведение двух множителей каждый из которых равен 5. Это произведение равно 25 Теперь представим, что мы по невнимательности умножили основание 5 на показатель 2 Получилась ошибка, поскольку число 5 во второй степени не равно 10. Дополнительно следует упомянуть, что степень числа с показателем 1, есть само это число: Например, число 5 в первой степени есть само число 5 Соответственно, если у числа отсутствует показатель, то надо считать, что показатель равен единице. Например, числа 1, 2, 3 даны без показателя, поэтому их показатели будут равны единице. Каждое из этих чисел можно записать с показателем 1 А если возвести 0 в какую-нибудь степень, то получится 0. Действительно, сколько бы раз ничего не умножалось на само себя получится ничего. Примеры: А выражение 00  не имеет смысла. Но в некоторых разделах математики, в частности анализе и теории множеств, выражение 00 может иметь смысл. Для тренировки решим несколько примеров на возведение чисел в степени. Пример 1. Возвести число 3 во вторую степень. Число 3 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 3 32 = 3 × 3 = 9 Пример 2. Возвести число 2 в четвертую степень. Число 2 в четвертой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен 2 24 =2 × 2 × 2 × 2 = 16 Пример 3. Возвести число 2 в третью степень. Число 2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен 2 23 =2 × 2 × 2 = 8 Возведение в степень числа 10 Чтобы возвести в степень число 10, достаточно дописать после единицы количество нулей, равное показателю степени. Например, возведем число 10 во вторую степень. Сначала запишем само число 10 и в качестве показателя укажем число 2 102 Теперь ставим знак равенства, записываем единицу и после этой единицы записываем два нуля, поскольку количество нулей должно быть равно показателю степени 102 = 100 Значит, число 10 во второй степени это число 100. Связано это с тем, что число 10 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен 10 102 = 10 × 10 = 100 Пример 2. Возведём число 10 в третью степень. В данном случае после единицы будут стоять три нуля: 103 = 1000 Пример 3. Возведем число 10 в четвёртую степень. В данном случае после единицы будут стоять четыре нуля: 104 = 10000 Пример 4. Возведем число 10 в первую степень. В данном случае после единицы будет стоять один нуль: 101 = 10 Представление чисел 10, 100, 1000 в виде степени с основанием 10 Чтобы представить числа 10, 100, 1000 и 10000 в виде степени с основанием 10, нужно записать основание 10, и в качестве показателя указать число, равное количеству нулей исходного числа. Представим число 10 в виде степени с основанием 10. Видим, что в нём один нуль. Значит, число 10 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 101 10 = 101 Пример 2. Представим число 100 в виде степени основанием 10. Видим, что число 100 содержит два нуля. Значит, число 100 в виде степени с основанием 10 будет представлено как 102 100 = 102 Пример 3. Представим число 1 000 в виде степени с основанием 10. 1 000 = 103 Пример 4. Представим число 10 000 в виде степени с основанием 10. 10 000 = 104 Возведение в степень отрицательного числа При возведении в степень отрицательного числа, его обязательно нужно заключить в скобки. Например, возведём отрицательное число −2 во вторую степень. Число −2 во второй степени это произведение двух множителей, каждый из которых равен (−2) (−2)2 = (−2) × (−2) = 4 Если бы мы не заключили в скобки число −2, то получилось бы что мы вычисляем выражение −22, которое не равно 4. Выражение −2² будет равно −4. Чтобы понять почему, коснёмся некоторых моментов. Когда мы ставим перед положительным числом минус, мы тем самым выполняем операцию взятия противоположного значения. Допустим, дано число 2, и нужно найти его противоположное число. Мы знаем, что противоположное числу 2 это число −2. Иными словами, чтобы найти противоположное число для 2, достаточно поставить минус перед этим числом. Вставка минуса перед числом уже считается в математике полноценной операцией. Эту операцию, как было указано выше, называют операцией взятия противоположного значения. В случае с выражением −22 происходит две операции: операция взятия противоположного значения и возведение в степень. Возведение в степень является более приоритетной операцией, чем взятие противоположного значения. Поэтому выражение −22 вычисляется в два этапа. Сначала выполняется операция возведения в степень. В данном случае во вторую степень было возведено положительное число 2 Затем выполнилось взятие противоположного значения. Это противоположное значение было найдено для значения 4. А противоположное значение для 4 это −4 −22  = −4 Скобки же имеют самый высокий приоритет выполнения. Поэтому в случае вычисления выражения (−2)2 сначала выполняется взятие противоположного значения, а затем во вторую степень возводится отрицательное число −2. В результате получается положительный ответ 4, поскольку произведение отрицательных чисел есть положительное число. Пример 2. Возвести число −2 в третью степень. Число −2 в третьей степени это произведение трёх множителей, каждый из которых равен (−2) (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8 Пример 3. Возвести число −2 в четвёртую степень. Число −2 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен (−2) (−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16 Легко заметить, что при возведении в степень отрицательного числа может получиться либо положительный ответ либо отрицательный. Знак ответа зависит от показателя исходной степени. Если показатель степени чётный, то ответ будет положительным. Если показатель степени нечётный, ответ будет отрицательным. Покажем это на примере числа −3 В первом и в третьем случае показатель был нечётным числом, поэтому ответ стал отрицательным. Во втором и в четвёртом случае показатель был чётным числом, поэтому ответ стал положительным. Пример 7. Возвести число −5 в третью степень. Число −5 в третьей степени это произведение трёх множителей каждый из которых равен −5. Показатель 3 является нечётным числом, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет отрицательным: (−5)3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125 Пример 8. Возвести число −4 в четвёртую степень. Число −4 в четвёртой степени это произведение четырёх множителей, каждый из которых равен −4. При этом показатель 4 является чётным, поэтому мы заранее можем сказать, что ответ будет положительным: (−4)4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256 Нахождение значений выражений При нахождении значений выражений, не содержащих скобки, возведение в степень будет выполняться в первую очередь, далее умножение и деление в порядке их следования, а затем сложение и вычитание в порядке их следования. Пример 1. Найти значение выражения 2 + 52 Сначала выполняется возведение в степень. В данном случае во вторую степень возводится число 5 — получается 25. Затем этот результат складывается с числом 2 2 + 52 = 2 + 25 = 27 Пример 10. Найти значение выражения −62 × (−12) Сначала выполняется возведение в степень. Заметим, что число −6 не взято в скобки, поэтому во вторую степень будет возведено число 6, затем перед результатом будет поставлен минус: −62 × (−12) = −36 × (−12) Завершаем пример, умножив −36 на (−12) −62 × (−12) = −36 × (−12) = 432 Пример 11. Найти значение выражения −3 × 22 Сначала выполняется возведение в степень. Затем полученный результат перемножается с числом −3 −3 × 22 = −3 × 4 = −12 Если выражение содержит скобки, то сначала нужно выполнить действия в этих скобках, далее возведение в степень, затем умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Пример 12. Найти значение выражения (32 + 1 × 3) − 15 + 5 Сначала выполняем действия в скобках. Внутри скобок применяем ранее изученные правила, а именно сначала возводим во вторую степень число 3, затем выполняем умножение 1 × 3, затем складываем результаты возведения в степень числа 3 и умножения 1 × 3. Далее выполняется вычитание и сложение в порядке их следования. Расставим такой порядок выполнения действия над исходным выражением: (32 + 1 × 3) − 15 + 5 = 12 − 15 + 5 = 2 Пример 13. Найти значение выражения 2 × 53 + 5 × 23 Сначала возведем числа в степени, затем выполним умножение и сложим полученные результаты: 2 × 53 + 5 × 23 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290 Тождественные преобразования степеней Над степенями можно выполнять различные тождественные преобразования, тем самым упрощая их. Допустим, потребовалось вычислить выражение (23)2. В данном примере два в третьей степени возводится во вторую степень. Иными словами, степень возводится в другую степень. (23)2это произведение двух степеней, каждая из которых равна 23 При этом каждая из этих степеней является произведением трёх множителей, каждый из которых равен 2 Получили произведение 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, которое равно 64. Значит значение выражения (23)2 или равно 64 Этот пример можно значительно упростить. Для этого показатели выражения (23)2 можно перемножить и записать это произведение над основанием 2 Получили 26. Два в шестой степени это произведение шести множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение равно 64 Данное свойство работает по причине того, что 23 это произведение 2 × 2 × 2, которое в свою очередь повторяется два раза. Тогда получается, что основание 2 повторяется шесть раз. Отсюда можно записать, что 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 это 26 Вообще, для любого основания a с показателями m и n, выполняется следующее равенство: (an)m = an × m Это тождественное преобразование называют возведением степени в степень. Его можно прочитать так: «При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают». После перемножения показателей, получится другая степень, значение которой можно найти. Пример 2. Найти значение выражения (32)2 В данном примере основанием является 3, а числа 2 и 2 являются показателями. Воспользуемся правилом возведения степени в степень. Основание оставим без изменений, а показатели перемножим: Получили 34. А число 3 в четвёртой степени есть 81 Рассмотрим остальные преобразования. Умножение степеней Чтобы перемножить степени, нужно по отдельности вычислить каждую степень, и полученные результаты перемножить. Например, умножим 22 на 33. 22 это число 4, а 33 это число 27. Перемножаем числа 4 и 27, получаем 108 22 × 33 = 4 × 27 = 108 В этом примере основания степеней были разными. В случае, если основания будут одинаковыми, то можно записать одно основание, а в качестве показателя записать сумму показателей исходных степеней. Например, умножим 22 на 23 В данном примере основания у степеней одинаковые. В этом случае можно записать одно основание 2 и в качестве показателя записать сумму показателей степеней 22 и 23. Иными словами, основание оставить без изменений, а показатели исходных степеней сложить. Выглядеть это будет так: Получили 25. Число 2 в пятой степени есть 32 Данное свойство работает по причине того, что 22 это произведение 2 × 2, а 23 это произведение 2 × 2 × 2. Тогда получается произведение из пяти одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Это произведение представимо в виде 25 Вообще, для любого a и показателей m и n выполняется следующее равенство: Это тождественное преобразование носит название основного свойства степени. Его можно прочитать так: «При перемножении степеней с одинаковыми основаниями, основание оставляют без изменений, а показатели складывают». Отметим, что данное преобразование можно применять при любом количестве степеней. Главное, чтобы основание было одинаковым. Например, найдем значение выражения 21 × 22 × 23. Основание 2 оставим без изменений, а показатели сложим: В некоторых задачах достаточным бывает выполнить соответствующее преобразование, не вычисляя итоговую степень. Это конечно же очень удобно, поскольку вычислять большие степени не так-то просто. Пример 1. Представить в виде степени выражение 58 × 25 В данной задаче нужно сделать так, чтобы вместо выражения 58 × 25 получилась одна степень. Число 25 можно представить в виде 52. Тогда получим следующее выражение: В этом выражении можно применить основное свойство степени — основание 5 оставить без изменений, а показатели 8 и 2 сложить: Задачу можно считать решённой, поскольку мы представили выражение 58 × 25 в виде одной степени, а именно в виде степени 510. Запишем решение покороче: Пример 2. Представить в виде степени выражение 29 × 32 Число 32 можно представить в виде 25. Тогда получим выражение 29 × 25. Далее можно применить основание свойство степени — основание 2 оставить без изменений, а показатели 9 и 5 сложить. В результате получится следующее решение: Пример 3. Вычислите произведение 3 × 3, используя основное свойство степени. Все хорошо знают, что три умножить на три равно девять, но задача требует в ходе решения воспользоваться основным свойством степени. Как это сделать? Вспоминаем, что если число дано без показателя, то показатель нужно считать равным единице. Стало быть сомножители 3 и 3 можно записать в виде 31 и 31 31 × 31 Теперь воспользуемся основным свойством степени. Основание 3 оставляем без изменений, а показатели 1 и 1 складываем: 31 × 31 = 32 Далее вычисляем значение выражения. Число 3 во второй степени равно числу 9 31 × 31 = 32 = 9 Пример 4. Вычислите произведение 2 × 2 × 32 × 33, используя основное свойство степени. Произведение 2 × 2 заменим на 21 × 21, затем на 21 + 1, а затем на 22. Произведение 32 × 33 заменим на 32 + 3, а затем на 35 Далее вычисляем значение каждой степени и находим произведение: Пример 5. Выполнить умножение x × x Это два одинаковых буквенных сомножителя с показателями 1. Для наглядности запишем эти показатели. Далее основание x оставим без изменений, а показатели сложим: Находясь у доски, не следует записывать перемножение степеней с одинаковыми основаниями так подробно, как это сделано здесь. Такие вычисления нужно выполнять в уме. Подробная запись скорее всего будет раздражать учителя и он снизит за это оценку. Здесь же подробная запись дана, чтобы материал был максимально доступным для понимания. Решение данного примера желательно записать так: Пример 6. Выполнить умножение x2 × x Показатель второго сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим: Пример 7. Выполнить умножение y3y2y Показатель третьего сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим: Пример 8. Выполнить умножение aa3a2a5 Показатель первого сомножителя равен единице. Для наглядности запишем его. Далее основание оставим без изменений, а показатели сложим: Пример 9. Представить степень 38 в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями. В данной задаче нужно составить произведение степеней, основания которых будут равны 3, и сумма показателей которых будет равна 8. Можно использовать любые показатели. Представим степень 38 в виде произведения степеней 35 и 33 В данном примере мы опять же опирались на основное свойство степени. Ведь выражение 35 × 33 можно записать как 35 + 3, откуда 38. Конечно можно было представить степень 38 в виде произведения других степеней. Например, в виде 37 × 31, поскольку это произведение тоже равно 38 Представление степени в виде произведения степеней с одинаковыми основаниями это по большей части творческая работа. Поэтому не нужно бояться экспериментировать. Пример 10. Представить степень x12 в виде различных произведений степеней с основаниями x. Воспользуемся основным свойство степени. Представим x12 в виде произведений с основаниями x, и сумма показателей которых равна 12 Конструкции с суммами показателей были записаны для наглядности. Чаще всего их можно пропустить. Тогда получится компактное решение: Возведение в степень произведения Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в указанную степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты. Например, возведём во вторую степень произведение 2 × 3. Возьмём в скобки данное произведение и в качестве показателя укажем 2 Теперь возведём во вторую степень каждый множитель произведения 2 × 3 и перемножим полученные результаты: Принцип работы данного правила основан на определении степени, которое было дано в самом начале. Возвести произведение 2 × 3 во вторую степень означает повторить данное произведение два раза. А если повторить его два раза, то можно получить следующее: 2 × 3 × 2 × 3 От перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Это позволяет сгруппировать одинаковые множители: 2 × 2 × 3 × 3 Повторяющиеся множители можно заменить на короткие записи — основания с показателями. Произведение 2 × 2 можно заменить на 22, а произведение 3 × 3 можно заменить на 32. Тогда выражение 2 × 2 × 3 × 3 обращается в выражение 22 × 32. Пусть ab исходное произведение. Чтобы возвести данное произведение в степень n, нужно по отдельности возвести множители a и b в указанную степень n Данное свойство справедливо для любого количества множителей. Следующие выражения также справедливы: Пример 2. Найти значение выражения (2 × 3 × 4)2 В данном примере нужно возвести во вторую степень произведение 2 × 3 × 4. Чтобы сделать это, нужно возвести во вторую степень каждый множитель этого произведения и перемножить полученные результаты: Пример 3. Возвести в третью степень произведение a × b × c Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем число 3 Далее возводим в третью степень каждый множитель данного произведения: Пример 4. Возвести в третью степень произведение 3xyz Заключим в скобки данное произведение, и в качестве показателя укажем 3 (3xyz)3 Возведём в третью степень каждый множитель данного произведения: (3xyz)3 = 33x3y3z3 Число 3 в третьей степени равно числу 27. Остальное оставим без изменений: (3xyz)3 = 33x3y3z3 = 27x3y3z3 В некоторых примерах умножение степеней с одинаковыми показателями можно заменять на произведение оснований с одним показателем. Например, вычислим значение выражения 52 × 32. Возведем каждое число во вторую степень и перемножим полученные результаты: 52 × 32 = 25 × 9 = 225 Но можно не вычислять по отдельности каждую степень. Вместо этого, данное произведение степеней можно заменить на произведение с одним показателем (5 × 3)2. Далее вычислить значение в скобках и возвести полученный результат во вторую степень: 52 × 32 = (5 × 3)2 = (15)2 = 225 В данном случае опять же было использовано правило возведения в степень произведения. Ведь, если (a × b)n = an × bn, то an × bn = (a × b)n. То есть левая и правая часть равенства поменялись местами. Возведение степени в степень Это преобразование мы рассматривали в качестве примера, когда пытались понять суть тождественных преобразований степеней. При возведении степени в степень основание оставляют без изменений, а показатели перемножают: (an)m = an × m К примеру, выражение (23)2 является возведением степени в степень — два в третьей степени возводится во вторую степень. Чтобы найти значение этого выражения, основание можно оставить без изменений, а показатели перемножить: (23)2 = 23 × 2 = 26 Далее вычислить степень 26, которая равна 64 (23)2 = 23 × 2 = 26 = 64 Данное правило основано на предыдущих правилах: возведении в степень произведения и основного свойства степени. Вернёмся к выражению (23)2. Выражение в скобках 23 представляет собой произведение из трёх одинаковых множителей, каждый из которых равен 2. Тогда в выражении (23)2 степень, находящуюся внутри скобок можно заменить на произведение 2 × 2 × 2. (2 × 2 × 2)2 А это есть возведение в степень произведения, которое мы изучили ранее. Напомним, что для возведения в степень произведения, нужно возвести в указанную степень каждый множитель данного произведения и полученные результаты перемножить: (2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22 Теперь имеем дело с основным свойством степени. Основание оставляем без изменений, а показатели складываем: (2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22 = 22 + 2 + 2 = 26 Как и раньше получили 26. Значение этой степени равно 64 (2 × 2 × 2)2 = 22 × 22 × 22 = 22 + 2 + 2 = 26 = 64 В степень также может возводиться произведение, сомножители которого тоже являются степенями. Например, найдём значение выражения (22 × 32)3. Здесь показатели каждого множителя нужно умножить на общий показатель 3. Далее найти значение каждой степени и вычислить произведение: (22 × 32)3 = 22×3  × 32×3 = 26 × 36 = 64 × 729 = 46656 Примерно тоже самое происходит при возведении в степени произведения. Мы говорили, что при возведении в степень произведения, в указанную степень возводится каждый множитель этого произведения. Например, чтобы возвести произведение 2 × 4 в третью степень, нужно записать следующее выражение: Но ранее было сказано, что если число дано без показателя, то показатель надо считать равным единице. Получается, что множители произведения 2 × 4 изначально имеют показатели равные 1. Значит в третью степень возводилось выражение 21 × 41. А это есть возведение степени в степень. Перепишем решение с помощью правила возведения степени в степень. У нас должен получиться тот же результат: Пример 2. Найти значение выражения (33)2 Основание оставляем без изменений, а показатели перемножаем: Получили 36. Число 3 в шестой степени есть число 729 Пример 3. Выполнить возведение в степень в выражении (xy)³ Возведём в третью степень каждый множитель произведения: Пример 4. Выполнить возведение в степень в выражении (abc)⁵ Возведём в пятую степень каждый множитель произведения: Пример 5. Выполнить возведение в степень в выражении (−2ax)3 Возведём в третью степень каждый множитель произведения: Поскольку в третью степень возводилось отрицательное число −2, оно было взято в скобки. Далее нужно вычислить то, что вычисляется. В данном случае можно вычислить (−2)3 — получится −8. Буквенная часть останется без изменений: Пример 6. Выполнить возведение в степень в выражении (10xy)2 Пример 7. Выполнить возведение в степень в выражении (−5x)3 Пример 8. Выполнить возведение в степень в выражении (−3y)4 Пример 9. Выполнить возведение в степень в выражении (−2abx)⁴ Пример 10. Упростите выражение x5 × (x2)3  Степень x5 пока оставим без изменений, а в выражении (x2)3 выполним возведение степени в степени: x5 × (x2)3 = x5 × x2 × 3 = x5 × x6 Теперь выполним умножение x5× x6. Для этого воспользуемся основным свойством степени — основание x оставим без изменений, а показатели сложим: x5 × (x2)3 = x5 × x2× 3 = x5 × x6 = x5 + 6 = x11 Пример 9. Найти значение выражения 43 × 22, используя основное свойство степени. Основное свойство степени можно использовать в случае, если основания  исходных степеней одинаковы. В данном примере основания разные, поэтому для начала исходное выражение нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы основания степеней стали одинаковыми. Посмотрим внимательно на степень 43. Основание у этой степени есть число 4, которое можно представить в виде 22. Тогда исходное выражение примет вид (22)3 × 22. Выполнив возведение степени в степень в выражении (22)3, мы получим 26. Тогда исходное выражение примет вид 26 × 22, вычислить которое можно, используя основное свойство степени. Запишем решение данного примера: Деление степеней Чтобы выполнить деление степеней, нужно найти значение каждой степени, затем выполнить деление обыкновенных чисел. Например, разделим 43 на 22. Вычислим 43, получим 64. Вычислим 22, получим 4. Теперь разделим 64 на 4, получим 16 Если при делении степеней основания окажутся одинаковыми, то основание можно оставить без изменений, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Например, найдем значение выражения 23 : 22 Основание 2 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя: Значит, значение выражения 23 : 22 равно 2. Данное свойство основано на умножении степеней с одинаковыми основаниями, или как мы привыкли говорить на основном свойстве степени. Вернемся к предыдущему примеру 23 : 22. Здесь делимое это 23, а делитель 22. Разделить одно число на другое означает найти такое число, которое при умножении на делитель даст в результате делимое. В нашем случае, разделить 23 на 22 означает найти такую степень, которая при умножении на делитель 22 даст в результате 23. А какую степень можно умножить на 22, чтобы получить 23 ? Очевидно, что только степень 21. Из основного свойства степени имеем: Убедиться, что значение выражения 23 : 22 равно 21 можно непосредственно вычислив само выражение 23 : 22. Для этого сначала найдём значение степени 23, получим 8. Затем найдём значение степени 22, получим 4. Разделим 8 на 4, получим 2 или 21, поскольку 2 = 21. 23 : 22 = 8 : 4 = 2 Таким образом, при делении степеней с одинаковыми основаниями выполняется следующее равенство: Может случиться и так, что одинаковыми могут оказаться не только основания, но и показатели. В этом случае в ответе получится единица. Например, найдём значение выражения 22 : 22. Вычислим значение каждой степени и выполним деление получившихся чисел: При решении примера 22 : 22 также можно применить правило деления степеней с одинаковыми основаниями. В результате получается число в нулевой степени, поскольку разность показателей степеней 22 и 22 равна нулю: В математике принято считать, что любое число в нулевой степени есть единица: Почему число 2 в нулевой степени равно единице мы выяснили выше. Если вычислить 22 : 22 обычным методом, не используя правило деления степеней, получится единица. Пример 2. Найти значение выражения 412 : 410 Воспользуемся правилом деления степеней. Основание 4 оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя: 412 : 410 = 412 − 10 = 42 = 16 Пример 3. Представить частное x3 : x в виде степени с основанием x Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя. Показатель делителя равен единице. Для наглядности запишем его: Пример 4. Представить частное x3 : x2 в виде степени с основанием x Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя: Деление степеней можно записывать в виде дроби. Так, предыдущий пример можно записать следующим образом: Числитель и знаменатель дроби  разрешается записывать в развёрнутом виде, а именно в виде произведений одинаковых множителей. Степень x3 можно записать как x × x × x, а степень x2 как x × x. Тогда конструкцию x3 − 2 можно будет пропустить и воспользоваться сокращением дроби. В числителе и в знаменателе можно будет сократить по два множителя x. В результате останется один множитель x Или ещё короче: Также, полезно уметь быстро сокращать дроби, состоящие из степеней. Например, дробь  можно сократить на x2. Чтобы сократить дробь  на x2 нужно числитель и знаменатель дроби  разделить на x2 Деление степеней подробно можно не расписывать. Приведённое сокращение можно выполнить короче: Или ещё короче: Пример 5. Выполнить деление x12 : x3 Воспользуемся правилом деления степеней. Основание x оставим без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя: Запишем решение при помощи сокращения дроби. Деление степеней x12 : x3 запишем в виде  . Далее сократим данную дробь на x3. Пример 6. Найти значение выражения  В числителе выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями: Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Основание 7 оставляем без изменений, а из показателя степени делимого вычтем показатель степени делителя: Завершаем пример, вычислив степень 72 Пример 7. Найти значение выражения  Выполним в числителе возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (23)4 Теперь выполним в числителе умножение степеней с одинаковыми основаниями: Теперь применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями: Значит, значение выражения  равно 16 В некоторых примерах можно сокращать одинаковые множители в ходе решения. Это позволяет упростить выражение и само вычисление в целом. Например, найдём значение выражения . Степень 43 запишем в виде возведения степени в степень (22)3. Тогда получим следующее выражение: В числителе выполним возведение степени в степень. Сделать это нужно с выражением (22)3 В числителе и в знаменателе получившегося выражения содержится степень 26, которую можно сократить на 26 Видим, что в результате осталась единственная степень 32, значение которой равно 9. Пример 8. Найти значение выражения  В знаменателе содержится произведение степеней с одинаковыми показателями. Согласно правилу возведения в степень произведения, конструкцию 75 × 45 можно представить в виде степени с одним показателем (7 × 4)5. Далее перемножим выражение в скобках, получим 285. В результате исходное выражение примет следующий вид: Теперь можно применить правило деления степеней: Значит, значение выражения  равно 28. Запишем решение полностью: Возведение в степень обыкновенных дробей Чтобы возвести в степень обыкновенную дробь, нужно возвести в указанную степень числитель и знаменатель этой дроби. Например, возведём обыкновенную дробь  во вторую степень. Возьмём в скобки данную дробь и в качестве показателя укажем 2 Если не брать в скобки всю дробь, то это равносильно возведению в степень только числителя данной дроби. Иными словами, если мы хотим возвести во вторую степень дробь , мы не должны записывать это как . Итак, чтобы вычислить значение выражения , нужно возвести во вторую степень числитель и знаменатель данной дроби: Получили дробь в числителе и в знаменателе которой содержатся степени. Вычислим каждую степень по отдельности Значит обыкновенная дробь  во второй степени равна дроби . Приведённое правило работает следующим образом. Дробь  во второй степень это произведение двух дробей, каждая из которых равна  Мы помним, что для перемножения дробей необходимо перемножить их числители и знаменатели: А поскольку в числителе и в знаменателе происходит перемножение одинаковых множителей, то выражения 2 × 2 и 3 × 3 можно заменить на 22 и 32 соответственно: Откуда и получится ответ . Вообще, для любого a и b ≠ 0 выполняется следующее равенство: Это тождественное преобразование называют возведением в степень обыкновенной дроби. Пример 2. Возвести дробь  в третью степень Заключим данную дробь в скобки и в качестве показателя укажем число 3. Далее возведём числитель и знаменатель данной дроби в третью степень и вычислим получившуюся дробь: Отрицательная дробь возводится в степень таким же образом, но перед вычислениями надо определиться какой знак будет иметь ответ. Если показатель четный, то ответ будет положительным. Если показатель нечетный, то ответ будет отрицательным. Например, возведём дробь  во вторую степень: Показатель является чётным числом. Значит ответ будет положительным. Далее применяем правило возведения в степень дроби и вычисляем получившуюся дробь: Ответ положителен по причине того, что выражение  представляет собой произведение двух сомножителей, каждый из которых равен дроби  А произведение отрицательных чисел (в том числе и рациональных) есть положительное число: Если возводить дробь  в третью степень, то ответ будет отрицательным, поскольку в данном случае показатель будет нечётным числом. Правило возведения в степень остаётся тем же, но перед выполнением этого возведения, нужно будет поставить минус: Здесь ответ отрицателем по причине того, что выражение  представляет собой произведение трёх множителей, каждый из которых равен дроби  Сначала перемножили  и , получили , но затем умножив  на  мы получим отрицательный ответ  Пример 3. Найти значение выражения  Выполним возведение в степень обыкновенной дроби: Далее вычислим значение получившегося выражения: Возведение в степень десятичных дробей При возведении в степень десятичной дроби её необходимо заключить в скобки. Например, возведём во вторую степень десятичную дробь 1,5 Допускается переводить десятичную дробь в обыкновенную и возводить в степень эту обыкновенную дробь. Решим предыдущий пример, переведя десятичную дробь в обыкновенную: Пример 2. Найти значение степени (−1,5)3 Показатель степени является нечётным числом. Значит ответ будет отрицательным Пример 3. Найти значение степени (−2,4)2 Показатель степени является чётным числом. Значит ответ будет положительным: Задания для самостоятельного решения Задание 1. Найдите значение выражения: Решение: Задание 2. Найдите значение выражения: Решение: Задание 3. Найдите значение выражения: Решение: Задание 4. Найдите значение выражения: Решение: Задание 5. Найдите значение выражения: Решение: Задание 6. Найдите значение выражения: Решение: Задание 7. Представьте в виде степени произведение: Решение: Задание 8. Представьте в виде степени произведение: Решение: Задание 9. Представьте в виде степени произведение: Решение: Задание 10. Представьте в виде степени произведение: Решение: Задание 11. Представьте в виде степени произведение: Решение: Задание 12. Представьте в виде степени произведение: Решение: Задание 13. Представьте в виде степени частное: Решение: Задание 14. Представьте в виде степени частное: Решение: Задание 15. Представьте в виде степени частное: Решение: Задание 16. Представьте в виде степени частное: Решение: Задание 17. Представьте в виде степени частное: Решение: Задание 18. Представьте в виде степени частное и найдите значение получившейся степени при x = 3 и n = 2 Решение: Задание 19. Представьте в виде степени частное: Решение: Задание 20. Сократите дробь на c¹ Решение: Задание 21. Представьте в виде степени следующее произведение: Решение: Задание 22. Представьте в виде степени следующее произведение: Решение: Задание 23. Представьте в виде степени следующее произведение: Решение: Задание 24. Представьте в виде степени следующее произведение: Решение: Задание 25. Представьте в виде степени следующее произведение: Решение: Задание 26. Представьте следующую степень в виде произведения степеней: Решение: Задание 27. Представьте следующую степень в виде произведения степеней: Решение: Задание 28. Представьте следующую степень в виде произведения степеней: Решение: Задание 29. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения: Решение: Задание 30. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения: Решение: Задание 31. Пользуясь тождественными преобразованиями степеней, найдите значение следующего выражения: Решение: Задание 32. Представьте в виде степени следующее выражение: Решение: Задание 33. Представьте в виде степени следующее выражение: Решение: Задание 34. Представьте в виде степени следующее выражение: Решение: Задание 35. Представьте в виде степени следующее выражение: Решение: Задание 36. Представьте в виде степени следующее выражение: Решение: Задание 37. Представьте в виде степени следующее выражение: Решение: Задание 38. Найдите значение следующего выражения: Решение: Задание 39. Найдите значение следующего выражения: Решение: Задание 40. Найдите значение следующего выражения: Решение: Задание 41. Найдите значение следующего выражения: Решение: Задание 42. Найдите значение следующего выражения: Решение: Задание 43. Найдите значение следующего выражения: Решение: Задание 44. Найдите значение следующего выражения: Решение: Понравился урок? Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках Возникло желание поддержать проект? Используй кнопку ниже Навигация по записям Как пошагово решать уравнения второй степени. Решенные упражнения. Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам узнать , как решить все уравнения второй степени , как полные, так и неполные. Уравнения второй степени также известны как квадратные уравнения. Полные уравнения второй степени Как правило, уравнений второй степени — это те уравнения, в которых x в одном из членов увеличивается до 2. Они могут быть полными или неполными уравнениями второй степени, в зависимости от того, имеют ли все они свои члены или нет.Здесь я собираюсь сосредоточиться на объяснении полного уравнения второй степени. Что такое полные уравнения второй степени полных уравнений второй степени или квадратных уравнений представлены следующим образом: Где a, b и c — константы уравнения: — это число, которое всегда стоит перед x в квадрате b — это номер, который всегда идет перед x c — номер без неизвестного То есть полные уравнения второй степени — это те, у которых конечная точка x повышена до 2, член с x повышен до 1 (или просто x).Если какой-либо из этих членов отсутствует, мы будем говорить о неполных уравнениях второй степени, которые решаются с помощью другой процедуры. Как уравнения второй степени, они имеют 2 решения. Помните, что степень уравнения равна количеству решений. Как решить полные уравнения второй степени Идентификация констант в уравнении второй степени Первым шагом в решении полных уравнений второй степени является правильное определение констант.Как мы уже говорили ранее, константы — это числа, стоящие перед x в квадрате, x и членом, не передающим x. Рассмотрим пример: В этом случае перед x в квадрате ничего нет, поэтому a = 1. Перед x стоит 5, поэтому b = 5. И член, который не несет x, равен 4, поэтому c = 4. Помните, что когда перед неизвестными ничего нет, это потому, что они умножены на 1, или, другими словами, это означает, что впереди стоит 1. Давайте посмотрим на другой пример: Теперь, если мы заметили, уравнение немного отличается, но это является причиной многих ошибок, если мы не будем осторожны. Посмотрим, почему: В общем виде знаков не меньше: Следовательно, мы должны преобразовать наше уравнение так, чтобы оно было таким же, как и общая форма полных уравнений второй степени: Теперь у нас это так же, где знак минус не появляется, а затем получается a, b и c, как в первом случае: Когда у нас будет больше практики, мы будем определять константы напрямую, без необходимости преобразовывать наше уравнение, но для начала это очень хороший способ избежать ошибок. Общая формула полных уравнений второй степени После определения констант необходимо применить следующую формулу для решения полных уравнений второй степени: Давайте посмотрим, как он используется, решив предыдущие примеры. У нас есть первое уравнение второй степени, в котором мы определили константы: Теперь нам нужно заменить значение каждой записи в общей формуле: А теперь работаем внутри корня с учетом иерархии операций: На этом этапе мы должны разрешить знак + с одной стороны и знак — с другой: Тогда два решения будут -1 и -4.Если бы у нас был случай, когда дроби были неточными, их пришлось бы упростить. Будьте осторожны со знаками меньше констант. Есть частные случаи, когда результат корня отрицательный, или его решения неточны, или результат корня неточен. Решение уравнений второй степени Уравнения второй степени с корневыми решениями Решения уравнения второй степени не обязательно должны быть двумя разными целыми числами.В некоторых случаях они могут иметь двойное или два сложных решения. Часто, когда решения не являются полными, вы начинаете сомневаться, правильное ли ваше решение или нет. А теперь давайте посмотрим, какими могут быть решения уравнения второй степени. Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в руте нет полного решения. Как правило, его оставляют в виде корня, чтобы не приходилось оперировать десятичными знаками, хотя, если мы решаем проблему и требуется точный результат, у нас не будет другого выбора, кроме как решить квадратный корень с калькулятором. Например, у нас есть следующее уравнение второй степени: Не обязательно оставлять его в корневой форме, но удобнее оставлять так, чтобы не перетаскивать десятичные дроби. Результат может быть дан с десятичными знаками и будет таким же правильным. Это то же самое, что и с дробями, которые, если результат неточный, он остается в виде дроби. Когда мы решаем уравнение второй степени и результат корня или дискриминанта равен 0, говорят, что у нас есть двойное решение, так как одно и то же решение будет повторяться дважды.Посмотрим, как действовать в этом случае: Поскольку мы априори не знаем, какими будут решения, мы решаем уравнение, как любое другое: Когда мы добираемся до этой части разрешения, мы видим, что корневой результат равен 0. Серьезная ошибка — оставить только 1 решение. Никогда не делайте этого, потому что вы будете напрямую отстранены. В этих случаях вы работаете с 0: . Он разрешается в соответствии с обычной процедурой, хотя кажется очевидным добавить и вычесть 0, но это хороший способ найти 2 решения. Другой способ указать решения — это довести общую формулу до конца, прийти к решению, но указать в письменной форме, что это двоякое решение. Уравнения второй степени с комплексными решениями Мы сталкиваемся с таким случаем, когда в общей формуле дискриминант или корневой результат отрицательный. Если вы еще не изучили комплексные числа, когда вы получите отрицательный корень, вы должны поставить следующее: Реального решения нет Это предложение эквивалентно утверждению, что в наборе действительных чисел нет решения (решение находится в наборе комплексных чисел). Давайте посмотрим на это на примере: Другими словами, как только мы видим корень с отрицательным содержанием, мы прямо указываем, что настоящего решения нет, и все. Важно не забыть настоящее слово, потому что, если вы просто укажете «нет решения», оно будет неверным, потому что в нем есть решение, но не в наборе действительных чисел. С другой стороны, если вы уже изучили комплексные числа, вы должны разработать уравнение, пока не найдете комплексные решения.То есть вы должны заменить корень -1 на число i: Ниже мы объясним основные шаги, которые помогут вам научиться решать неполные уравнения второй степени. Что такое неполные уравнения второй степени Давайте вспомним общую форму полного уравнения второй степени: Неполные уравнения второй степени — это те уравнения, в которых отсутствуют константы b или c или даже оба, т.е. е. равно 0.У нас трое парней: Когда b = 0: Когда c = 0: Когда b = 0 и c = 0: Давайте посмотрим, как решается каждый из них. Как решить неполные уравнения второй степени Бесконечные неполные уравнения второй степени с x (b = 0) Мы сталкиваемся с уравнением этого типа, когда в уравнении второй степени отсутствует член с x или, другими словами, когда b = 0: Например: Чтобы решить неполные уравнения второй степени этого типа, мы сначала очищаем x², как если бы это было уравнение первой степени: Оказавшись здесь, мы должны переместить квадрат на другую сторону равенства в качестве корня, а затем получить положительное и отрицательное решение: Чьи решения 2 и -2. Вот и все, вот так. Если в другом уравнении корень не дает точных значений, каждый результат остается как корень с соответствующим знаком перед ним. Неполные уравнения второй степени без числа (c = 0) Неполные уравнения второй степени без числа (или без независимого члена) — это те уравнения, в которых c = 0 в общем виде и, следовательно, имеют следующий вид: Например: Первым шагом в решении этого типа неполных уравнений является построение общего множителя, поскольку x повторяется в обоих членах. Теперь мы должны рассмотреть следующее: Cuando una multiplicación de dos factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los 2 factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0. Например: 2.0 = 0 (это ясно) х. 0 = 0 (x может быть любым значением, но при умножении на 0 результат равен 0) а. b = 0 (результат здесь 0, поэтому либо a = 0, либо b = 0, но мы не знаем, какой из них) Продолжаем наше уравнение.У нас есть случай, похожий на. b = 0: у нас есть два множителя (x и (x-3), результат которых равен 0, поэтому один из двух должен быть равен 0, но мы не знаем, какой из них. Следовательно, у нас есть два пути: x = 0 или x-3 = 0. В первом случае мы получаем непосредственно первое решение, а во втором случае нам нужно сделать еще один шаг, а именно очистить x: . Решения: x = 0 и x = 33 Вы должны быть очень осторожны с отрицательными знаками при поиске точек соприкосновения. Неполные уравнения второй степени только с x² (b = 0 и c = 0) Это самый простой тип из всех, что почти решается напрямую.Неполные уравнения второй степени этого типа — это те, в которых есть только член x², или, другими словами, когда b = 0 и c = 0: Давайте посмотрим на пример: Как и в случае неполных уравнений второй степени с c = 0, мы должны очистить x²: Но особенность этого случая в том, что мы всегда будем достигать x² = 0. Итак, когда мы перемещаем квадрат на другую сторону как корень, мы получаем, что результат равен 0, но это двойное решение: Квадраты: многочлены второй степени 10 Решение квадратного уравнения с множителем Двойной корень Квадратичное неравенство Сумма и произведение корней КВАДРАТИКА — ДРУГОЕ НАЗВАНИЕ многочлена 2-й степени.2 — самый высокий показатель степени. 1. Какой вид имеет полиномиальная функция 2-й степени? y = ax 2 + bx + c 2. Какой вид имеет квадратное уравнение? топор 2 + bx + c = 0 3. Что мы подразумеваем под корнем квадратичного? Решение квадратного уравнения. 4. Сколько корней всегда у квадратичной? Два, реальные или сложные. 5. График квадратичной всегда имеет форму, называемую -? Парабола. 6. Каковы три метода решения квадратного уравнения, 6. То есть нахождения корней? 1. Факторинг. 2. Завершение квадрата. 3.Квадратичная формула. Начнем с метода факторинга. В следующей теме мы представим как Завершение квадрата, так и формулу квадратного уравнения. 7. Если произведение множителей равно 0 — если ab = 0 — то что вы можете 7. сделать вывод о множителях a , b ? Либо a = 0, либо b = 0. Пример 1. Решение по факторингу. f ( x ) = x 2 −2 x −3. Найдите корни f ( x ) и нарисуйте график y = f ( x ). Решение . x 2 −2 x −3 = ( x + 1) ( x — 3). Следовательно, корни — это −1 и 3. (См. Урок 37 по алгебре.) Это пересечения графа размером x . Перехват y является постоянным членом −3. В каждом полиноме пересечение y является постоянным членом, потому что постоянный член представляет собой значение y , когда x = 0. Пример 2. Двойной корень f ( x ) = x 2 −10 x + 25. Найдите корни f ( x ) и нарисуйте график y = f ( х ). Решение . x 2 −10 x + 25 = ( x -5) ( x -5) = ( x -5) 2 . Два корня равны, их 5, 5 называется двойным корнем. (См. Урок алгебры 37, вопрос 4.) При двойном корне график не пересекает ось x . Это просто трогает. Двойной корень возникает, когда квадратичный является трехчленом полного квадрата: x 2 ± 2 ax + a 2 ; то есть, когда квадратичная величина является квадратом бинома: ( x ± a ) 2 . Пример 3. Сколько действительных корней, т.е. корней, которые являются действительными числами, имеет квадратичный элемент каждого графа? Ответ . График а) имеет два действительных корня. Он имеет два перехватчика x . График б) не имеет реальных корней. У него нет x -перехватов. Оба корня сложные. График c) имеет два действительных корня. Но они двойной корень. Пример 4.Квадратичное неравенство. Решите это неравенство: x 2 — 4 x — 5 Для этого осмотрите график y = x 2 — 4 x — 5. Решение . Для каких значений x эта квадратичная величина будет отрицательной? То есть где график под осью x ? График отрицательный между корнями, которые равны -1 и 5.Решение неравенства равно −1 x. Мы также можем заметить, что квадратичная функция будет иметь положительные значения — график будет выше оси x — слева и справа от корней: x x> 5. В то время как квадратичный будет иметь значение 0 в корнях. Мы рассмотрели три возможности: Этот квадратичный равен , равному 0 в двух корнях. Это на меньше, чем 0 между двумя корнями. Это на больше, чем 0 слева и справа от двух корней. Эти три возможности, которые верны для любого действительного числа, имеют причудливое название Закона трихотомии. Любое число должно быть либо равно, меньше или больше 0. Закон трихотомии также принимает такую ​​форму: Для любых действительных чисел a, b , либо a = b , a b, либо a > b . Однако мы должны знать, какая из этих возможностей верна. Для любых двух чисел мы должны знать их относительный порядок. Это заложено в значении «числа». Задача 1. Нарисуйте график y = x 2 — 2 x −8. То есть покажите интерцепты x и y . Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область. Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»). x 2 −2 x — 8 = ( x + 2) ( x — 4). Следовательно, корни равны −2, 4. Пересечение y является постоянным членом −8. Задача 2. Нарисуйте график . y = x 2 + 4 x + 4. x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2) 2 .В −2 есть двойной корень. Перехват y — постоянный член, 4. Проблема 3. а) Чтобы решить это квадратное неравенство — x 2 + 2 x — 3> 0 —проверьте график y = x 2 + 2 x — 3. Квадратичное значение будет положительным — выше оси x — для значений x слева и справа от корня.Решение: x x> 1. б) Решите это квадратное неравенство: x 2 + 2 x — 3 −3 х Квадратичный будет отрицательным между корнями. Проблема 4. Квадратичная имеет следующие корни. Запишите каждую квадратичную как произведение линейных множителей. а) 3, 4 ( x — 3) ( x — 4) б) −3, −4 ( x + 3) ( x + 4) в) — р , с ( x + r ) ( x — s ) г) 3+, 3 — ( x -3 -) ( x −3 +) Сумма и произведение корней Теорема. В квадратичной системе со старшим коэффициентом 1: Сумма корней равна отрицательному значению коэффициента x ; произведение корней — постоянный член. То есть, если x 2 + bx + c = 0, и корни r и s , затем r + s = — б , RS = с . Ибо, если корни равны r и s , то квадратичный равен ( x — r ) ( x — s ) = x 2 — rx — sx + rs = x 2 — ( r + s ) x + rs . Коэффициент x равен — ( r + s ), что является отрицательным значением суммы корней. Постоянный член составляет рупий , что является их произведением. Пример 5. Построить квадратичную с корнями 2 и 3. Решение . Сумма корней равна 5, их произведение равно 6, следовательно, квадратичный равен x 2 -5 x + 6. Сумма корней равна отрицательному значению коэффициента x . Произведение корней — постоянный член. Пример 6. Построить квадратичную с корнями 2 +, 2 -. Решение . Сумма корней равна 4. Их произведение — разность двух квадратов: 2 2 — () 2 = 4 — 3 = 1. Следовательно, квадратичный равен x 2 -4 x + 1. Пример 7. Построить квадратичную формулу, корни которой равны 2 + 3 i , 2 — 3 i , где i — комплексная единица. Решение . Сумма корней равна 4. Произведение снова является разностью двух квадратов: 4–9 i 2 = 4 + 9 = 13. Квадратичная с этими корнями равна . x 2 -4 x + 13. Задача 5. Построить квадратичную с корнями −3, 4. Сумма корней равна 1. Их произведение равно −12. Следовательно, квадратичный равен x 2 — x — 12. Задача 6. Построить квадратичную с корнями 3 +, 3 -. Сумма корней равна 6. Их произведение равно 9 — 3 = 6. Следовательно, квадратичный равен x 2 — 6 x + 6. Задача 7. Построить квадрат, корни которого равны 2 + i , 2 — i . Сумма корней равна 4. Их произведение равно 4 — ( i ) 2 = 4 + 5 = 9. Следовательно, квадратичный равен x 2 — 4 x + 9. * В более общем смысле, для любого коэффициента x 2 , то есть, если квадратичный равен топор 2 + bx + c , и корни r и s , затем r + s = – b a , RS = c a . Когда a = 1, мы имеем теорему выше. Следующая тема: Завершение квадрата Содержание | Дом Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети. Даже 1 доллар поможет. Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор Вопросы или комментарии? Эл. Почта: [email protected] Конические сечения как кривые второй степени Декарт понял, что он может получить почти все результаты Аполлония по геометрии коник, изучая их в декартовой плоскости x-y.2} \). Это второй шаг в иерархии кривых, которая начинается с линий как линейных уравнений. Алгебра наводит порядок в мире кривых! На этом шаге вы увидите , , некоторые основные примеры конических кривых в качестве кривых второй степени. , получите некоторый опыт работы с некоторыми более сложными уравнениями для конических сечений. Если вас интересует история, посмотрите лекцию Нормана по аналитической геометрии на YouTube. 2-x + y = 5} \] должно быть одним из конических сечений, изученных Аполлонием.2} \) — стандартная парабола (темно-синяя), на которой лежат точки типа \ (\ normalsize {[1,1]} \) и \ (\ normalsize {[2,4]} \). Уравнение \ (\ normalsize {xy = 1} \), или эквивалентно \ (\ normalsize {y = 1 / x} \), определяет гиперболу (зеленую) с асимптотами вдоль осей координат, что означает, что гипербола приближается по мере того, как вы продвигаетесь по ним, все ближе и ближе эти линии. Конечно, у гиперболы есть много точек, которые можно легко создать на ней, например \ (\ normalsize {[3,1 / 3]} \) и \ (\ normalsize {[1 / 4,4]} \).2 + 2x-y-5 = 0}? \] Это все еще кривая второй степени или степени два. Как мы могли бы построить график точек \ (\ normalsize {[x, y]} \), которые удовлетворяют этому уравнению? Это непростая задача, но программа для работы с геометрией / графикой, такая как GeoGebra , не имеет проблем: мы просто вводим уравнение в строку ввода и смотрим, какая красивая картинка появится. Это делает построение сложных уравнений намного проще, чем это было во времена Декарта! В этом случае мы получаем эллипс, тоже не совсем отцентрованный в обычном месте и наклоненный под другим углом.2 + 3x = 6}? \] GeoGebra показывает нам, что это гипербола с центром около \ (\ normalsize {[0,0]} \) и наклоненной под некоторым углом. В общем, решение о том, какую кривую дает общее квадратное уравнение, выходит за рамки этого курса. Мы хотим, чтобы вы знали, что всегда будет коническим сечением . Пары строк Здесь следует упомянуть один вырожденный случай. На предыдущем шаге мы видели, что происходит нечто особенное, если плоскость, пересекающая конус, проходит через вершину конуса.2 = 0.} \] GeoGebra сообщает нам, что это пара линий. Фактически, это тоже коническое сечение, и на языке Аполлония это соответствовало бы разрезанию конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса. Q3 (M): Используя немного алгебры, объясните, почему приведенный выше график наглядно представляет собой пару линий. (Другими словами, мы могли бы вывести этот частный случай, не обращаясь к изображениям!) (Пожалуйста, просмотрите ответ на Q3 , прежде чем продолжить!) Теперь давайте посмотрим, что происходит, когда мы меняем постоянный член в правая часть уравнения.Ниже мы видим графики \ [\ Large {(x + 3y) (2x-5y) = 1} \ quad \ text {и} \ quad {(x + 3y) (2x-5y) = — 1} \ ] , которые являются синей и красной гиперболами соответственно, с асимптотами исходных пар зеленых линий. Таким образом, конику «пары прямых» можно рассматривать как частный или вырожденный случай гиперболы. Q4 (M): Посмотрев на особые точки, или сравнивая со стандартными уравнениями, или просто всеми правдами и неправдами, посмотрите, сможете ли вы сопоставить эти уравнения с соответствующими конусами на рисунке ниже.2 = 3/2} \), так что \ (\ normalsize {y = \ pm \ sqrt {3/2} \ приблизительно \ pm 1.22} \) приблизительно. Единственная кривая, которая проходит близко к приблизительным точкам \ (\ normalsize {[3, \ sqrt {3/2}]} \) и \ (\ normalsize {[3, — \ sqrt {3/2}]} \) — синяя гипербола A. 2} = 0 \), что является алгебраической формой круга с радиусом \ (\ normalsize 0 \).2 = 2} \), и поэтому \ (\ normalsize {y = \ pm \ sqrt {2} \ приблизительно \ pm 1.41} \) приблизительно. Единственная кривая, которая проходит близко к приблизительным точкам \ (\ normalsize {[0, \ sqrt {2}]} \) и \ (\ normalsize {[0, — \ sqrt {2}]} \), — это зеленая гипербола C. Даже если это может показаться парой линий, на самом деле это гипербола. Степень (выражения) «Степень» в математике может означать несколько вещей: В геометрии градус (°) — это способ измерения углов, Но здесь мы посмотрим, что означает степень в Алгебра . В алгебре «Степень» иногда называют «Порядком» Степень полинома (с одной переменной) Полином выглядит так: пример полинома , у этого есть 3 члена градусов (для многочлена с одной переменной, например, x ): — наибольший показатель этой переменной. Еще примеры: 4x Степень: 1 (переменная без показателя степени фактически имеет показатель степени 1) 4x 3 — x + 3 Степень 3 (наибольший показатель x) x 2 + 2x 5 — x Степень 5 (наибольший показатель x) z 2 — z + 3 Степень 2 (наибольший показатель z) Названия степеней Когда мы знаем степень, мы можем дать ей имя! Степень Имя Пример 0 Константа 7 1 линейный х + 3 2 Квадратичная х 2 −x + 2 3 Кубический x 3 −x 2 +5 4 Quartic 6x 4 −x 3 + x − 2 5 Квинтик x 5 −3x 3 + x 2 +8 Пример: y = 2x + 7 имеет степень 1, поэтому это линейное уравнение Пример: 5w 2 — 3 имеет степень 2, поэтому квадратичный Уравнения высшего порядка обычно труднее решить : Линейные уравнения легко решить Квадратные уравнения немного сложнее решить Кубические уравнения снова сложнее, но есть формулы для помощи Уравнения четвертой степени также могут быть решены, но формулы очень сложные Уравнения пятой степени не имеют формул, а иногда бывает неразрешимым ! Степень многочлена с более чем одной переменной Когда многочлен имеет более одной переменной, нам нужно посмотреть на каждый член .Термины разделены знаками + или -: Пример полинома с более чем одной переменной Для каждый член : Найдите градус , сложив в нем показатели каждой переменной , наибольшая такая степень — это степень многочлена. Пример: какова степень этого многочлена: Проверка каждого термина: 5xy 2 имеет степень 3 (x имеет показатель 1, y имеет 2 и 1 + 2 = 3) 3x имеет степень 1 (x имеет показатель степени 1) 5y 3 имеет степень 3 (y имеет показатель степени 3) 3 имеет степень 0 (без переменной) Наибольшая степень из них — 3 (на самом деле два члена имеют степень 3), поэтому многочлен имеет степень 3 Пример: какова степень этого многочлена: 4z 3 + 5y 2 z 2 + 2yz Проверка каждого термина: 4z 3 имеет степень 3 (z имеет показатель степени 3) 5y 2 z 2 имеет степень 4 (y имеет показатель степени 2, z имеет 2 и 2 + 2 = 4) 2yz имеет степень 2 (y имеет показатель 1, z имеет 1 и 1 + 1 = 2) Наибольшая степень из них равна 4, поэтому полином имеет степень 4 Записываем Вместо того, чтобы говорить «, степень (любого) равна 3 », мы пишем это так: Когда выражение представляет собой дробь Мы можем вычислить степень рационального выражения (того, которое имеет форму дроби), взяв степень вершины (числитель) и вычтя степень основания (знаменатель). Вот три примера: Вычисление других типов выражений Предупреждение: впереди продвинутые идеи! Иногда мы можем определить степень выражения, разделив … логарифм функции по логарифм переменной … затем сделайте это для все больших и больших значений, чтобы увидеть, где ответ «заголовок». (Точнее, мы должны определить предел до бесконечности ln (f (x)) / ln (x) , но я просто хочу, чтобы здесь это было просто). Вот пример: Пример: Какова степень (3 плюс квадратный корень из x)? Попробуем увеличить значения x: х пер. () лин (х) дюйм () / дюйм (x) 2 1.48483 0,69315 2,1422 4 1,60944 1.38629 1,1610 10 1,81845 2.30259 0,7897 100 2,56495 4.60517 0,5570 1 000 3,54451 6, 0,5131 10 000 4.63473 9,2 1034 0.5032 100 000 5.76590 11,51293 0,5008 1 000 000 6.9 1075 13,81551 0,5002 Глядя на таблицу: по мере того, как x становится больше, чем ln () / ln (x) становится все ближе и ближе к 0,5 Итак, степень 0,5 (другими словами 1/2) (Примечание: это хорошо согласуется с x ½ = квадратный корень из x, см. Дробные экспоненты) Некоторые значения степени Выражение градус журнал (x) 0 e x ∞ 1 / х -1 1/2 Как решить тригонометрические уравнения второй степени Тригонометрические уравнения Проще говоря, тригонометрические уравнения — это просто уравнения, которые содержат тригонометрические отношения, такие как синус и косинус переменной «x».2y-4 \ cos y +3 = 0cos2y − 4cosy + 3 = 0 Обратите внимание, что в приведенных выше уравнениях используется наш знакомый полиномиальный формат, но с добавлением тригонометрических соотношений синуса и косинуса. Теперь, когда у нас есть представление о том, как выглядят триггерные уравнения, давайте посмотрим, как решать триггерные уравнения! Решение тригонометрических уравнений Для решения тригонометрических задач, которые мы рассмотрим в этой статье, сначала важно убедиться, что вы хорошо знакомы с основными, нетригонометрическими функциями и отношениями, а также с факторизацией многочленов.Чтобы освежить память, вам помогут видеоролики о функциях умножения и факторизации трехчленов! Имея в виду эти концепции, давайте приступим к решению тригонометрических уравнений. Существует множество различных методов решения триггерных проблем, поэтому в зависимости от того, куда вы посмотрите, вы можете получить много разных ответов! В этой статье дается подробный обзор двух основных методов, которые мы можем использовать для решения триггеров. 2 x + 3 \ sin x = 06sin2x + 3sinx = 0 for0≤x≤2πfor \; 0 \ leq x \ leq 2 \ pifor0≤x≤2π Этот вопрос просит нас найти решения для x в диапазоне от 0 до 2pi.2 + 3w = 06w2 + 3w = 0 3w (2w + 1) = 03w (2w + 1) = 03w (2w + 1) = 0 Шаг 3: Решите относительно x Надеюсь, вы помните, как решать разложенные на множители многочлены. В этом случае w = 0 и w = -1/2 Шаг 4. Замените w на sinx и измените решения Теперь, когда мы решили уравнение для w, мы должны не забыть заменить w обратно на sin x и скорректировать наши решения, чтобы учесть это. Следовательно: sin x = 0 и sin x = -1/2 Используя наш калькулятор или наши знания о вечно важной единичной окружности, мы приходим к следующим решениям: x = 0 и x = -pi / 6 Чтобы попрактиковаться в решении таких вычислений, ознакомьтесь с уроком по поиску значений триггера. Шаг 5: Найдите решения во всем указанном диапазоне Хотя мы нашли решения для нашего уравнения, помните, что нас попросили найти всех решений в диапазоне 0≤x≤2π0 \ leq x \ leq 2 \ pi0≤x≤2π! Из-за повторяющегося характера функций синуса и косинуса у нас, вероятно, будет несколько значений x, которые могут решить это уравнение. Кроме того, -pi / 6 не решает это уравнение, так как оно выходит за пределы допустимого диапазона. Опять же, как и в большинстве случаев в математике, есть несколько способов найти другие значения x.Самый простой способ — быстро набросать синусоидальный график от 0 до 2pi и посмотреть, когда pi равно 0 и -1/2. Взглянув на наше изображение выше, легко заметить, где sinx = 0, дает нам значения x 0, pi и 2pi . Теперь ищем sinx = -1/2, мы знаем из нашего первоначального решения –pi / 6, что sinx = -1/2 для некоторых кратных pi / 6. Глядя на наш график, становится ясно, что sinx = -1/2 для двух значений между пи и 2 пи, эти значения — пи + пи / 6 и 2 пи — пи / 6. Следовательно, дает нам значения x 7pi / 6 и 11pi / 6 .2 x + 3 \ cos x + 1 = 02cos2x + 3 cosx + 1 = 0 Для этого второго и последнего примера мы будем использовать Method 2 , который был описан ранее. Это означает, что мы не будем делать никакой замены и будем решать тригонометрическое уравнение как есть. Шаг 1. Разложите на множители и упростите уравнение (2cos⁡x + 1) (cos⁡x + 1) = 0 (2 \ cos x + 1) (\ cos x +1) = 0 (2cosx + 1) (cosx + 1) = 0 Шаг 2: Решить Теперь, когда мы разложили на множители наше уравнение, легко решить и определить, что: cosx = -1/2 и cosx = -1 Решение относительно x дает нам решения: x = 2pi / 3 и pi Шаг 3. Найдите решения во всем указанном диапазоне В этом примере, в отличие от первого, не указан указанный диапазон.Следовательно, мы должны давать решения, которые учитывают постоянно повторяющийся характер функции косинуса. Кроме того, мы должны учитывать, что могут быть другие значения для x, которые наши калькуляторы не выплюнули. Опять же, лучший способ понять все это — взглянуть на график cosx. Еще раз взглянув на график выше, легко заметить, когда cosx = -1. Cosx будет равен -1 в пи, повторяя каждый «n-й» (где n = целое число) полный цикл (2pi) волны, таким образом, x = pi + n2pi .Для cosx = -1 / 2 решение аналогично тому, как мы нашли наши решения в примере 1 . Кроме того, нам нужно помнить о повторяющейся природе, как мы это делали для решений для cosx = -1 для каждого полного цикла (2pi). Таким образом, функция будет равна -1/2 , когда x = 2pi / 3 = n2pi и когда x = 4pi / 3 + n2pi . Таким образом, наш окончательный ответ: , таким образом, x = pi + n2pi, x = 2pi / 3 = n2pi и x = 4pi / 3 + n2pi Вот и все! Чтобы узнать больше о тригонометрических уравнениях и о том, как они связаны с производными, ознакомьтесь с этим уроком о производных тригонометрических функций. Калькулятор квадратичных формул Использование калькулятора Этот онлайн-калькулятор представляет собой программа решения квадратных уравнений , которая решает полиномиальное уравнение второго порядка, такое как ax 2 + bx + c = 0 для x, где a 0, используя квадратная формула . Решение калькулятора покажет работу с использованием формулы квадратного уравнения для решения введенного уравнения для действительных и комплексных корней.2 — 4ac> 0 \) Итак, есть два действительных корня. Упростите радикал: \ (x = \ dfrac {8 \ pm 2 \ sqrt {11} \,} {2} \) \ (x = \ dfrac {8} {2} \ pm \ dfrac {2 \ sqrt {11} \,} {2} \) Упростить дроби и / или знаки: \ (x = 4 \ pm \ sqrt {11} \, \) , что становится \ (х = 7.2 — 4ac Упростите радикал: \ (x = \ dfrac {-20 \ pm 4 \ sqrt {15} \, i} {10} \) \ (x = \ dfrac {-20} {10} \ pm \ dfrac {4 \ sqrt {15} \, i} {10} \) Упростить дроби и / или знаки: \ (x = -2 \ pm \ dfrac {2 \ sqrt {15} \, i} {5} \) , что становится \ (х = -2 + 1,54919 \, я \) \ (х = -2 — 1.54919 \, и \) В калькулятор добавлено полное решение для действительных и комплексных корней Калькулятор полиномиальных степеней — онлайн-поиск 1-го, 2-го, 3-го, N-го заказа Поиск инструмента Степень полинома Инструмент для определения степени (или порядка) полинома, то есть наибольшей степени переменной полинома. Результаты Степень полинома — dCode Тег (и): Функции Поделиться dCode и другие dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день! Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode ! Степень полиномиального поиска Инструмент для определения степени (или порядка) полинома, то есть наибольшей степени переменной полинома. 1 $ Задайте новый вопрос Исходный код dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Полиномиальная степень».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая функция (преобразование, решение, дешифрование / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate), написанные на любом информатическом языке (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab и т. д.), ни данные, ни скрипт, ни копирование-вставка, ни доступ к API не будут бесплатными. , то же самое для загрузки Polynomial Degree для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! Нужна помощь? Пожалуйста, заходите в наше сообщество в Discord для получения помощи! Вопросы / комментарии Сводка Инструменты аналогичные Поддержка Форум / Справка Ключевые слова степень, полином, порядок, 1-я, первая, 2-я, вторая, 3-я, третья Ссылки Источник: https: // www. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт